2027학년도 동국대학교 대비 수리논술 해설집

1단계 · 소문항 (1) 두 등차수열 $a_n, b_n$의 일반항 추론 (12점) 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$의 차수열 $\{a_n - b_n\}$도 등차수열이므로 $a_n - b_n = d_1 n + c$라 놓으면, 조건 ①의 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n - b_n}{n} = 2$에서 $d_1 = 2$이다. 또한 제시문 【가】에 의하여 $$\sum_{n=1}^{8}(a_n - b_n) = \frac{8\{(2 + c) + (16 + c)\}}{2} = 4(18 + 2c) = 128 \implies 18 + 2c = 32 \implies c = 7$$ 이므로 $\mathbf{a_n - b_n = 2n + 7}$이다.
수열 $\{b_n\}$의 공차를 $d$ ($d$는 자연수)라 하면 $a_n$의 공차는 $d + 2$이고, 합수열 $a_n + b_n$의 공차는 $2d + 2$이다. 조건 ②에서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$가 $n = 6$일 때만 유일한 최솟값을 가지므로 $$a_6 + b_6 < 0, \qquad a_7 + b_7 > 0 \quad \cdots\cdots \text{㉠}$$ 이어야 한다. $1 \le n \le 6$에서 $a_n + b_n < 0$이고 $a_n - b_n = 2n + 7 > 0$이므로 $2b_n = (a_n+b_n) - (a_n-b_n) < 0$, 즉 $b_1, b_2, b_3, b_4 < 0$이다. $b_n = b_6 + (n - 6)d$를 조건 ③에 대입하면 $$\sum_{n=1}^{4}|b_n| = -(b_1 + b_2 + b_3 + b_4) = -(4b_6 - 14d) = 68 \implies 2b_6 = 7d - 34$$ 이다. 이때 $a_6 - b_6 = 19$이므로 $a_6 + b_6 = (a_6 - b_6) + 2b_6 = 19 + (7d - 34) = 7d - 15$이다. 이를 ㉠에 대입하면 $$a_6 + b_6 = 7d - 15 < 0 \implies d < \frac{15}{7}, \qquad a_7 + b_7 = (7d - 15) + (2d + 2) = 9d - 13 > 0 \implies d > \frac{13}{9}$$ 이므로 자연수 $d$는 $\mathbf{d = 2}$뿐이다. 따라서 $2b_6 = -20 \implies b_6 = -10$이므로 일반항은 다음과 같다. $$\mathbf{b_n = -10 + 2(n - 6) = 2n - 22}, \qquad \mathbf{a_n = b_n + (2n + 7) = 4n - 15}$$

2단계 · 소문항 (2) 수열 $c_n = |a_n| - |b_n|$의 최솟값과 $n$의 값 (8점) $c_n = |4n - 15| - |2n - 22|$를 $n$의 범위에 따라 나누어 정리하면 다음과 같다.
• $1 \le n \le 3$일 때: $4n - 15 < 0, \; 2n - 22 < 0$이므로 $c_n = -(4n - 15) + (2n - 22) = -2n - 7$ (감소, $n=3$일 때 $c_3 = -13$).
• $4 \le n \le 11$일 때: $4n - 15 > 0, \; 2n - 22 \le 0$이므로 $c_n = (4n - 15) + (2n - 22) = 6n - 37$ (증가, $n=4$일 때 $c_4 = -13$).
• $n \ge 12$일 때: $4n - 15 > 0, \; 2n - 22 > 0$이므로 $c_n = (4n - 15) - (2n - 22) = 2n + 7 \ge 31$.
따라서 수열 $\{c_n\}$은 $\mathbf{n = 3 \text{ 또는 } n = 4}$일 때 최솟값 $\mathbf{-13}$을 가진다.

3단계 · 소문항 (3) $\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}$ 및 무한급수의 합 (10점) $n \ge 12$일 때 $c_n = 2n + 7$이므로, $n \ge 12$에서 $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{11} c_k + \sum_{k=12}^{n}(2k + 7) = n^2 + 8n + C$ ($C$는 상수) 꼴의 이차식이다. 따라서 $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + 8n + C}{n^2} = \mathbf{1}$$ 또한 $a_n = 4n - 15$에서 $a_n + 15 = 4n, \; a_{n+1} + 15 = 4(n + 1)$이므로 부분분수 분해에 의하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{(a_n + 15)(a_{n+1} + 15)} = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{4}{16n(n + 1)} = \frac{1}{4}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) = \frac{1}{4}\lim_{N\to\infty}\left(1 - \frac{1}{N + 1}\right) = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

평가 단계	핵심 채점 요소 및 등급 판정 기준 (S ~ F)
[1단계] (12점)	$a_n - b_n = 2n + 7$과 $a_6+b_6 < 0 < a_7+b_7$로부터 자연수 공차 $d=2$를 구하여 $a_n = 4n-15, b_n = 2n-22$를 확정한다.
[2단계] (8점)	절댓값의 부호가 바뀌는 구간($n \le 3, \; 4 \le n \le 11, \; n \ge 12$)으로 나누어 $n=3, 4$일 때 최솟값 $-13$을 구한다.
[3단계] (10점)	$n \ge 12$에서 $c_n = 2n+7$을 이용해 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2} = 1$과 부분분수 급수의 합 $\dfrac{1}{4}$을 정확히 구한다.
S ~ F 등급	S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

1단계 · 소문항 (1) 근과 계수의 관계와 $\cos\theta$ 표현 (12점) 이차함수 $y = x^2 - (2k + 1)x + 3k$와 직선 $y = x$를 연립한 이차방정식 $$x^2 - 2(k + 1)x + 3k = 0$$ 의 판별식은 $\dfrac{D}{4} = (k + 1)^2 - 3k = k^2 - k + 1 = \left(k - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$이므로 모든 실수 $k$에 대하여 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가진다. 제시문 【가】의 근과 계수의 관계에 의하여 $$\alpha + \beta = 2(k + 1) = 2k + 2, \qquad \alpha\beta = 3k$$ 이다. 점 $\mathrm{P}(0, 3)$과 두 교점 $\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha), \mathrm{Q}_2(\beta, \beta)$에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \; \alpha - 3), \qquad \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \; \beta - 3)$$ 이므로 두 벡터의 내적은 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = \alpha\beta + (\alpha - 3)(\beta - 3) = 2\alpha\beta - 3(\alpha + \beta) + 9 = 6k - 3(2k + 2) + 9 = \mathbf{3}$$ 이다. 또한 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 = (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9)$를 전개하여 $\alpha + \beta = 2k + 2, \; \alpha\beta = 3k$를 대입하면 $$\begin{aligned} (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9) &= 4(\alpha\beta)^2 - 12\alpha\beta(\alpha+\beta) + 18\{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\} + 36\alpha\beta - 54(\alpha+\beta) + 81 \\ &= 36k^2 - 36k(2k+2) + 18(4k^2 + 2k + 4) + 36k - 54(2k+2) + 81 = 36k^2 - 36k + 45 = 9(4k^2 - 4k + 5) \end{aligned}$$ 따라서 제시문 【나】에 의하여 $\cos\theta$는 다음과 같다. $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|} = \frac{3}{\sqrt{9(4k^2 - 4k + 5)}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{4k^2 - 4k + 5}}} = \frac{1}{\sqrt{(2k - 1)^2 + 4}}$$

2단계 · 소문항 (2) 각 $\theta$의 최솟값과 $k$의 값 (9점) 근호 안의 이차식 $4k^2 - 4k + 5 = (2k - 1)^2 + 4$는 제시문 【가】에 의하여 $\mathbf{k = \frac{1}{2}}$일 때 최솟값 $4$를 가진다. 이때 $\cos\theta > 0$이므로 $\cos\theta$는 최댓값 $\dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$을 가지며, 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 $\cos\theta$는 감소함수이므로 $\theta$의 최솟값은 $\mathbf{\theta = \frac{\pi}{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표와 $\triangle\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 $S$ (9점) $k = \dfrac{1}{2}$일 때 이차방정식 $x^2 - 3x + \dfrac{3}{2} = 0$을 풀면 $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 6}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$이므로 두 교점의 좌표는 $$\mathbf{\mathrm{Q}_1\!\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \; \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right), \qquad \mathrm{Q}_2\!\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}, \; \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)}$$ 이다. 제시문 【다】에 의하여 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}| = \sqrt{9(4k^2 - 4k + 5)} = \sqrt{9 \times 4} = 6$이므로 삼각형 $\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 $S$는 다음과 같다. $$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$$

평가 단계	핵심 채점 요소 및 등급 판정 기준 (S ~ F)
[1단계] (12점)	$\alpha+\beta=2k+2, \alpha\beta=3k$를 구하고 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = 3$과 $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{4k^2-4k+5}}$을 정확히 유도한다.
[2단계] (9점)	$(2k-1)^2 + 4 \ge 4$로부터 $k = \dfrac{1}{2}$일 때 $\cos\theta$의 최댓값 $\dfrac{1}{2}$과 $\theta$의 최솟값 $\dfrac{\pi}{3}$를 구한다.
[3단계] (9점)	$k=\dfrac{1}{2}$을 대입해 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$ 좌표 $\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}\right)$ 및 삼각형 넓이 $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$를 구한다.
S ~ F 등급	S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

1단계 · 소문항 (1) 정적분과 미분의 관계 $S'(x) = g(x)$ 증명 (12점) $\Delta x > 0$일 때, 함수 $g(t)$는 닫힌구간 $[x, x + \Delta x]$에서 연속이므로 제시문 【가】의 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 최솟값 $m = g(c_1)$과 최댓값 $M = g(c_2)$ ($c_1, c_2 \in [x, x+\Delta x]$)을 가진다.
넓이의 증분 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x) = \displaystyle\int_x^{x+\Delta x} g(t)\,dt$는 밑변의 길이가 $\Delta x$이고 높이가 $m, M$인 두 직사각형의 넓이 사이에 있으므로 $$m\Delta x \le \Delta S \le M\Delta x \implies g(c_1) \le \frac{\Delta S}{\Delta x} \le g(c_2)$$ 가 성립한다 ($\Delta x < 0$일 때도 구간 $[x+\Delta x, x]$에서 동일하게 성립한다). 여기서 $\Delta x \to 0$이면 $c_1 \to x, \; c_2 \to x$이고 함수 $g$가 $x$에서 연속이므로 $\lim_{\Delta x \to 0} g(c_1) = \lim_{\Delta x \to 0} g(c_2) = g(x)$이다. 따라서 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $$\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)\,dt = S'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta x} = \mathbf{g(x)}$$ 가 성립한다.

2단계 · 소문항 (2) 치환적분과 정적분 미분을 이용한 $f(x)$ 결정 (14점) 주어진 등식에 $t = 2$를 대입하면 $\displaystyle\int_0^{f(2)} (\sqrt{s} + 2)\,ds = 2f(2) \implies \frac{2}{3}\{f(2)\}^{3/2} = 0$이므로 $f(2) = 0$이다.
두 번째 정적분 $\displaystyle\int_0^{f(t)} (\sqrt{s} + 2)\,ds$에서 $s = (u - 2)^2\;(u \ge 2)$으로 치환하거나 직접 적분하면 $$\int_2^t (s - 2)^2\,ds + \left[\frac{2}{3}s^{3/2} + 2s\right]_0^{f(t)} = \frac{1}{3}(t - 2)^3 + \frac{2}{3}\{f(t)\}^{3/2} + 2f(t) = t\,f(t)$$ 이다. 이를 정리하면 $\dfrac{1}{3}(t - 2)^3 + \dfrac{2}{3}\{f(t)\}^{3/2} - (t - 2)f(t) = 0$이고, $u = t - 2 \ge 0, \; v = \sqrt{f(t)} \ge 0$으로 놓으면 $$u^3 + 2v^3 - 3uv^2 = (u - v)^2(u + 2v) = 0$$ 으로 인수분해된다! $u \ge 0, \; v \ge 0$이므로 $u + 2v = 0$이면 $u = v = 0$이고, 모든 $t \ge 2$에서 $u = v$, 즉 $\sqrt{f(t)} = t - 2$이다. 따라서 구하는 함수는 $$\mathbf{f(x) = (x - 2)^2 \quad (x \ge 2)}$$ 이다.

3단계 · 소문항 (3) 도형 $R$의 넓이와 정삼각형 단면 입체도형의 부피 $V$ (14점) 곡선 $y = (x - 2)^2\;(2 \le x \le 4)$과 $x$축 및 직선 $x = 4$로 둘러싸인 도형 $R$의 넓이 $A(R)$는 $$A(R) = \int_2^4 (x - 2)^2\,dx = \left[\frac{1}{3}(x - 2)^3\right]_2^4 = \mathbf{\frac{8}{3}}$$ 이다. 또한 구간 $[2, 4]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $f(x) = (x - 2)^2$인 정삼각형이므로 단면의 넓이는 $A(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\{f(x)\}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^4$이다. 제시문 【다】에 의하여 입체도형의 부피 $V$는 다음과 같다. $$V = \int_2^4 A(x)\,dx = \int_2^4 \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^4\,dx = \frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{1}{5}(x - 2)^5\right]_2^4 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{32}{5} = \mathbf{\frac{8\sqrt{3}}{5}}$$

평가 단계	핵심 채점 요소 및 등급 판정 기준 (S ~ F)
[1단계] (12점)	최대·최소 정리로 $m\Delta x \le \Delta S \le M\Delta x$를 세우고 극한의 대소 관계로 $S'(x) = g(x)$를 엄밀히 증명한다.
[2단계] (14점)	정적분을 계산하여 $(t - 2 - \sqrt{f(t)})^2(t - 2 + 2\sqrt{f(t)}) = 0$으로부터 $f(x) = (x - 2)^2$을 구한다.
[3단계] (14점)	도형 $R$의 넓이 $\dfrac{8}{3}$과 정삼각형 단면 넓이 $A(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-2)^4$을 적분하여 부피 $V = \dfrac{8\sqrt{3}}{5}$를 구한다.
S ~ F 등급	S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡